발산 정리

발산 정리(Divergence theorem) 혹은 가우스 정리(Gauss's theorem)라고도 한다. 물리학의 가우스 법칙과도 관련이 있다. 미분위상수학의 스토크스 정리의 특수한 경우이기도 한데, 대학 미적분학에서 보통 스토크스 정리라고 하면 캘빈-스토크스 정리를 뜻한다.

어떤 벡터장 $\mathbf{F}(x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_n)=(f_1,\,f_2,\,\cdots,\,f_n)$의 발산은

로 정의한다.

좌표평면의 유계인 영역 $D$에서 정의된 벡터장 $F(x,\,y)$에 대하여

가 성립한다. 여기서 $n$은 영역 $D$의 경계선에 대한 단위법선벡터이다.

하지만, 영역 $D$가 벡터장 $\mathbf{F}$을 포함하지 않을 때($\mathbf{F}$가 $D$의 어딘가에서 정의되지 않을 때), 발산정리를 섣불리 사용할 수는 없다. 대표적인 예시가 각 원소 벡터장 $\mathbf{A}(x,\,y) = \dfrac{(x,\,y)}{x^2+y^2}$이며, 원점 $O$에서 벡터장이 정의되지 않는다. 이 때는 벡터장이 정의되지 않는 그 부분을 포함하는 아주 작은 영역(계산의 편의를 위해 보통 원/구를 잡는다)을 따로 설정하여 계산하는 방법을 쓴다. (이차원 가우스 정리)

공간 속에서 유계이고 닫힌 한 영역 $R$에서 정의된 일급 벡터장 $\mathbf{F}$에 대하여

이다. 이 때 얻는 결과는 '삼차원의 한 영역을 지나는 벡터장의 flux는 그 영역에서 발산함수를 적분한 값'이란 것이다. 예를 들어 원뿔모양의 필터(곡면)가 있고, 그 필터를 지나는 물의 속도에 대한 벡터장을 알고 있을 때, 그 벡터장의 발산함수를 곡면에 따라 적분하여 얻은 값이 단위 시간당 지나가는 물의 양인 것이다.